インターフェースを ACL ( AtCoder Library ) に寄せた Dynamic Segment Tree を書きました。

Dynamic Segment Tree の概要

そこらに生えている多くのセグ木は、事前に適切なサイズの配列を確保した上で、二分ヒープ的 index で親や子に移動するような実装となっていますね。そういったセグ木で、例えば以下のようなクエリは捌けるでしょうか。

すベて $0$ で初期化された長さ $n$ の数列 $A=(a_0, a_1, \ldots, a_{n-1})$ があります。
以下で説明されるクエリを $q$ 回、オンラインで処理してください。クエリは 2 種類あります。

クエリ 1： $p,x$ が与えられるので、 $a_p$ に $x$ を加算する。
クエリ 2： $l, r$ が与えられるので、 $\sum_{i=l}^{r-1} a_i$ を報告する。

ただし $1 \leq n \leq {10}^9, 1 \leq q \leq {10}^5$ である。

注目すべきは $n$ の制約です。二分ヒープ的な index で管理する、いわゆる通常のセグ木で処理しようとすると、一般的なメモリ制限では MLE となります。また、オンライン処理なので、クエリ先読みした上での座標圧縮もできません。

ところで、セグ木の一回のクエリ処理でアクセスするノードの数は $O(\log(n))$ なので、実は上述のクエリを処理するためには $O(q\log(n))$ のノードがあれば十分足りてしまいます。（本問の最大ケースでも ${10}^5 \log_2({10}^9)\approx3\times{10}^6$ 程度です。）

つまり、必要になったときに初めてそのノードを作るような実装にすれば、MLE することなく上述のクエリも処理できてしまいます。こういった実装の工夫がなされたセグ木のことを Dynamic Segment Tree と呼んでいます。（呼称については controversial です。私は「必要な部分だけ作るセグ木」という呼び方が好きですが、これはこれで簡潔ではありませんし、Codeforces のブログ等でも「Dynamic Segment Tree」という呼称が用いられているため、検索でのヒットのし易さ等も考慮して本記事では「Dynamic Segment Tree」で統一します。）

以下のリンク先の説明が簡潔にまとまっていておすすめです。
scrapbox.io

Dynamic Segment Tree の長所・短所

長所

実際に必要となるノード数が十分小さければ、大きなサイズの数列に対するクエリも、先読みや座標圧縮をすることなく処理することができる。

短所

通常のセグ木と比較してメモリアクセスが遅い。
一点取得の時間計算量は、通常のセグ木では $Θ(1)$ であるのに対して、Dynamic Segment Tree では $O(\log(n))$ となる。
基本的には初期化は単位元でしか行えない。（工夫すれば、単位元以外の値での初期化もできます。）

実装についての簡単な説明

ポインタを用いて実装します。多少書き慣れていないと少し理解するのが難しいかもしれません。ポインタを用いてデータ構造を書いた経験がない方は、まずは AOJ ALDS1 #8 を書いてみるのがおすすめです。

Dynamic Segment Tree はポインタを用いて書く関係上、全ての処理がトップダウン的になります。再帰セグ木に近い構造です。
まずは抽象化はしていない、シンプルな一点更新区間和取得 Dynamic Segment Tree の実装を見ていきましょう。主に通常のセグ木と異なる部分について、コード中にコメントを入れています。

#include <cstddef>

class dynamic_segtree {
public:
    // 初め、 root は nullptr となっている
    dynamic_segtree(size_t n) : n(n), root(nullptr) {}

    void set(size_t p, int x) { set(root, 0, n, p, x); }
    int get(size_t p) { return get(root, 0, n, p); }
    int prod(size_t l, size_t r) { return prod(root, 0, n, l, r); }

private:
    // 各 node に、値と左右の子のポインタを持たせる
    struct node {
        int value;
        node* left;
        node* right;
        // 初め、左右の子は nullptr となっている
        node(int value) : value(value), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };

    size_t n;
    // セグ木の根のポインタを管理する
    node* root;

    void set(node*& t, size_t a, size_t b, size_t p, int x) {
        // そのノードがまだ作られていなかったら作る
        if (!t) t = new node(0);
        // 区間幅が 1、つまりセグ木の葉にたどり着いたら値を更新
        if (b - a == 1) {
            t->value = x;
            return;
        }
        // それ以外の場合は左か右の子に進む
        size_t c = (a + b) >> 1;
        if (p < c) set(t->left, a, c, p, x);
        else set(t->right, c, b, p, x);
        // ノードの値の更新（左右の子が作られていない可能性があることに注意）
        t->value = 0;
        if (t->left) t->value += t->left->value;
        if (t->right) t->value += t->right->value;
    }

    // set とほぼ同じ
    int get(node*& t, size_t a, size_t b, size_t p) {
        if (!t) return 0;
        if (b - a == 1) return t->value;
        size_t c = (a + b) >> 1;
        if (p < c) return get(t->left, a, c, p);
        else return get(t->right, c, b, p);
    }

    int prod(node*& t, size_t a, size_t b, size_t l, size_t r) {
        // ノードが作られていない、もしくは区間の重なりがなければ、単位元を返す
        if (!t || b <= l || r <= a) return 0;
        // クエリ区間がノード区間を包含していれば、そのノードの持つ値を返す
        if (l <= a && b <= r) return t->value;
        // それ以外の場合は、左右の子に進む
        size_t c = (a + b) >> 1;
        return prod(t->left, a, c, l, r) + prod(t->right, c, b, l, r);
    }
};

再帰セグ木をご存知でしたら理解は容易かと思います。private 内void set(t, a, b, p, x)の一番初め、アクセスした時にそのノードがまだなかったら作る行が、Dynamic Segment Tree の肝中の肝です。

基本的な実装方針としては以上の通りなのですが、下記の実装コードでは、void set(t, a, b, p, x)のノード作成時に、 $b-a=1$ が成り立つまでノードを作成し続けるのではなく、子が一つだけで葉まで続く部分は省略してノードの作成数を押さえる工夫を加えています。これにより、元々は一点更新クエリ毎に新しく作成されるノード数が $O(\log(n))$ だったものを高々1個まで減らすことができるため、一点更新クエリの回数を $m$ 回として、空間計算量を $O(m\log(n))$ から $O(m)$ に改善することができます。

この工夫についての詳細は kazuma8128 さんのブログをご覧ください。 kazuma8128.hatenablog.com

実装コード

抽象化して、さらにstd::unique_ptrを使いより安全なメモリ確保を行うようにしたものです。public の部分を見るとわかるように、ACL の segtree と使い方はほぼ同じです。みんな使ってね。

※ 2021/3/28
ある区間を単位元に戻す（いらないノードを削除する）関数 reset と
セグ木上の二分探索 max_right, min_left を追加しました。

#include <cassert>
#include <cstddef>
#include <memory>
#include <utility>

template <class S, S (*op)(S, S), S (*e)()> class dynamic_segtree {
public:
    dynamic_segtree(size_t n) : n(n), root(nullptr) {}

    void set(size_t p, S x) {
        assert(p < n);
        set(root, 0, n, p, x);
    }

    S get(size_t p) const {
        assert(p < n);
        return get(root, 0, n, p);
    }

    S prod(size_t l, size_t r) const {
        assert(l <= r && r <= n);
        return prod(root, 0, n, l, r);
    }

    S all_prod() const { return root ? root->product : e(); }

    void reset(size_t l, size_t r) {
        assert(l <= r && r <= n);
        return reset(root, 0, n, l, r);
    }

    template <bool (*f)(S)> size_t max_right(size_t l) const {
        return max_right(l, [](S x) { return f(x); });
    }

    template <class F> size_t max_right(size_t l, const F& f) const {
        assert(l <= n);
        S product = e();
        assert(f(product));
        return max_right(root, 0, n, l, f, product);
    }

    template <bool (*f)(S)> size_t min_left(size_t r) const {
        return min_left(r, [](S x) { return f(x); });
    }

    template <class F> size_t min_left(size_t r, const F& f) const {
        assert(r <= n);
        S product = e();
        assert(f(product));
        return min_left(root, 0, n, r, f, product);
    }

private:
    struct node;
    using node_ptr = std::unique_ptr<node>;

    struct node {
        size_t index;
        S value, product;
        node_ptr left, right;

        node(size_t index, S value)
            : index(index),
              value(value),
              product(value),
              left(nullptr),
              right(nullptr) {}

        void update() {
            product = op(op(left ? left->product : e(), value),
                         right ? right->product : e());
        }
    };

    const size_t n;
    node_ptr root;

    void set(node_ptr& t, size_t a, size_t b, size_t p, S x) const {
        if (!t) {
            t = std::make_unique<node>(p, x);
            return;
        }
        if (t->index == p) {
            t->value = x;
            t->update();
            return;
        }
        size_t c = (a + b) >> 1;
        if (p < c) {
            if (t->index < p) std::swap(t->index, p), std::swap(t->value, x);
            set(t->left, a, c, p, x);
        } else {
            if (p < t->index) std::swap(p, t->index), std::swap(x, t->value);
            set(t->right, c, b, p, x);
        }
        t->update();
    }

    S get(const node_ptr& t, size_t a, size_t b, size_t p) const {
        if (!t) return e();
        if (t->index == p) return t->value;
        size_t c = (a + b) >> 1;
        if (p < c) return get(t->left, a, c, p);
        else return get(t->right, c, b, p);
    }

    S prod(const node_ptr& t, size_t a, size_t b, size_t l, size_t r) const {
        if (!t || b <= l || r <= a) return e();
        if (l <= a && b <= r) return t->product;
        size_t c = (a + b) >> 1;
        S result = prod(t->left, a, c, l, r);
        if (l <= t->index && t->index < r) result = op(result, t->value);
        return op(result, prod(t->right, c, b, l, r));
    }

    void reset(node_ptr& t, size_t a, size_t b, size_t l, size_t r) const {
        if (!t || b <= l || r <= a) return;
        if (l <= a && b <= r) {
            t.reset();
            return;
        }
        size_t c = (a + b) >> 1;
        reset(t->left, a, c, l, r);
        reset(t->right, c, b, l, r);
        t->update();
    }

    template <class F>
    size_t max_right(const node_ptr& t, size_t a, size_t b,
                     size_t l, const F& f, S& product) const {
        if (!t || b <= l) return n;
        if (f(op(product, t->product))) {
            product = op(product, t->product);
            return n;
        }
        size_t c = (a + b) >> 1;
        size_t result = max_right(t->left, a, c, l, f, product);
        if (result != n) return result;
        if (l <= t->index) {
            product = op(product, t->value);
            if (!f(product)) return t->index;
        }
        return max_right(t->right, c, b, l, f, product);
    }

    template <class F>
    size_t min_left(const node_ptr& t, size_t a, size_t b,
                    size_t r, const F& f, S& product) const {
        if (!t || r <= a) return 0;
        if (f(op(t->product, product))) {
            product = op(t->product, product);
            return 0;
        }
        size_t c = (a + b) >> 1;
        size_t result = min_left(t->right, c, b, r, f, product);
        if (result != 0) return result;
        if (t->index < r) {
            product = op(t->value, product);
            if (!f(product)) return t->index + 1;
        }
        return min_left(t->left, a, c, r, f, product);
    }
};